L (livelight) wrote,
L
livelight

Categories:

Чем думают математики :)

Классика из википедии:
"Максима, которой следовала Эмми Нётер на протяжении её работы, может быть сформулирована следующим образом: любая взаимосвязь между числами, функциями и операциями становится прозрачной, поддающейся обобщению и продуктивной только после того, как она оказывается отделена от каких-либо конкретных объектов"

Пост у Аввы о том, чем занимается алгебра https://avva.livejournal.com/3182407.html?style=mine

У меня с годами сложилось впечатление, что подобные объяснения - "что такое группа" и многие другие примеры - не "работают" в случае неподготовленного читателя в первую очередь потому, что авторы объяснений не осознают, до какой степени привычна им "объектификация", т.е. использование абстрактных понятий (типа "функция" или "жесткое движение") в виде (псевдо-)конкретных "объектов", с которыми можно выполнять некие "операции".

"Два жестких движения, выполненные последовательно одно за друrим, снова дают жесткое движение". Математик не осознает, насколько ужасающе неинтуитивным это предложение является для любого, кто не прошел хоть в какой-то степени абстрактную школу современной математики. Можно объяснить, что такое "жесткое движение" на пальцах, но после этого объяснения ваш собеседник-гуманитарий понимает, что жесткое движение - это такое действие, это что-то, что происходит во времени с конкретной фигурой. Окей, мы можем совершить два движения одно за другим, предположим, но ничто не подготовило нас к тому, чтобы воспринимать это сочетание, как операцию, которую проводят *с движениями*, а не с фигурой. Вот тут, мне кажется, ключевая загвоздка. Движения - это действия, а не объекты, их не сочетают (а тем более не складывают, но это отдельная тема), с ними вообще ничего не делают, делают *ими*. Вы можете написать на бумаге, что движения это объекты и с ними проводят операцию, которая дает новое движение, но условный "гуманитарий" без опыта такой ментальной манипуляции может прочитать эти слова пять раз и они все равно останутся словами.


А я помню этот переход. Когда до меня донесли, что линейная алгебра таки работает с векторами. В курсе школьной геометрии изучают всякие точки, которые где-то находятся. Между двумя точками можно прокинуть вектор. Вектор - это движение, изменение, перенос -- чего-то. Потом этот вектор можно даже приложить к другой точке, но он всё равно куда-то приложен. А вот когда от точек удалось избавиться, и начинаешь работать только с векторами, не прикладывая их вообще ни к чему - начинается линейная алгебра, из которой можно узнать много нового. Но это уже дополнительный фазовый переход в мозгу надо совершить.

Ну а вся прочая (не всегда линейная) алгебра - она про то, как ведут себя взаимосвязи между объектами, но чтобы сами эти объекты взаимосвязям не мешали.

А вот ещё пример дискуссии вокруг как раз этого способа мышления: https://anairos.livejournal.com/74634.html?thread=1823370#t1823370

Для математика смысл текста "Если вы согласны взять отрицательное число (-2) положительное число раз (3), то теперь дело за малым: отменить это действие и вернуть, как было. Операция "отменить три раза" коммутативна и ассоциативна, её можно отделить от изначальной операции "взять три раза" и применять самостоятельно." — интуитивно понятен: "взять минус 3 раза" -- это то же самое, что отменить "взятие 3 раза". А не-математик как раз и говорит, что это совершенно для него не интуитивно, даже если и понятно.

Ну и бонусом - пояснение (не моё), нафига эти извращения над "здравым смыслом" (а точнее, делание "интуитивно понятным" и "здравым смыслом" другого способа мышления) нужны:
Первым приложением теории групп было бы доказательство малой теоремы Ферма/теоремы Эйлера о возведении остатков в степень как следствия теоремы Лагранжа о порядке подгруппы конечной группы
...
Потому что когда я, будучи скептическим ребенком лет 10 или 11, впервые увидел определение группы, оно поразило меня своей абстрактностью и бессмысленностью. Какая может быть польза у такого банального определения, в нем же ничего не содержится? -- думал я. Но пример с теоремой Лагранжа и возведением остатков в степень меня переубедил.

Впоследствии, уже в возрасте лет 13-13.5, наверное, тот же эффект повторился с определением категории. Все это понятно и ряд примеров очевиден, -- думал я, -- но как-то ясно и то, что абстракция эта бессодержательна и бесполезна, придумана только для того, чтобы о чем-нибудь поболтать языком. Но примеры с понятиями универсального объекта и сопряженного функтора меня переубедили.


Оригинал поста: https://livelight.dreamwidth.org/487264.html.
Комментариев на DW: comment count unavailable
Tags: links, физматпрог
Subscribe

  • О "полезной нагрузке"

    Дядя Докинз рассказывал, что когда-то давным давно-давно, когда гены были ещё маленькими и не были даже крокодилами, не говоря уж о высших

  • И о погоде

    Погода таки услышала моё ворчание :) На прошедшей неделе дожди шли строго с утра понедельника по вечер пятницы, а завтра с утра опять обещают.…

  • ... из какого сора ...

    А вот, например, в деццтве мне как-то рассказали анекдот про муравья, который спрашивал слона, не он ли надел его трусы. Я почесал репу и уточнил:…

  • Post a new comment

    Error

    default userpic

    Your IP address will be recorded 

    When you submit the form an invisible reCAPTCHA check will be performed.
    You must follow the Privacy Policy and Google Terms of use.
  • 11 comments

  • О "полезной нагрузке"

    Дядя Докинз рассказывал, что когда-то давным давно-давно, когда гены были ещё маленькими и не были даже крокодилами, не говоря уж о высших

  • И о погоде

    Погода таки услышала моё ворчание :) На прошедшей неделе дожди шли строго с утра понедельника по вечер пятницы, а завтра с утра опять обещают.…

  • ... из какого сора ...

    А вот, например, в деццтве мне как-то рассказали анекдот про муравья, который спрашивал слона, не он ли надел его трусы. Я почесал репу и уточнил:…